在工程经济学中，我们经常需要计算如何通过定期等额支付来回收初始投资或偿还贷款。这种计算对于项目的财务规划和经济评估至关重要。为了更好地理解这一过程，我们需要推导出等额支付资金回收公式。

假设我们有一个初始投资金额P，这笔资金将通过一系列等额支付A在未来n期内完全回收。这些支付将在每期期末进行，且利率为i。我们的目标是找出每个等额支付A的大小。

首先，考虑单笔资金在未来某时刻的价值。如果现在有一笔金额P，那么经过n期后，其未来价值F可以表示为：

\[ F = P \times (1 + i)^n \]

接下来，我们考虑等额支付序列。每一笔支付A在不同时间点的价值是不同的，因为它们受到复利的影响。第k期的支付A在当前时刻的价值是：

\[ A_k = A \times (1 + i)^{-(k+1)} \]

因此，所有n期支付的现值总和PV可以写成：

\[ PV = A \times [(1 + i)^{-1} + (1 + i)^{-2} + ... + (1 + i)^{-n}] \]

这个等比数列的求和公式为：

\[ S_n = \frac{(1 + i)^n - 1}{i \cdot (1 + i)^n} \]

所以，等额支付的现值可以表示为：

\[ PV = A \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i \cdot (1 + i)^n} \]

为了使初始投资P完全被回收，我们需要确保现值PV等于P：

\[ P = A \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i \cdot (1 + i)^n} \]

由此我们可以解出等额支付A的表达式：

\[ A = P \times \frac{i \cdot (1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1} \]

这就是等额支付资金回收公式。它告诉我们，为了在n期内完全回收初始投资P，我们需要设置每次支付的金额A为上述公式所给出的值。

此公式的应用非常广泛，无论是用于企业融资决策还是个人理财计划，都能帮助我们合理安排资金流，实现最优的经济效益。通过对这一公式的深入理解和灵活运用，我们可以在复杂的经济环境中做出更加明智的选择。