【关于向量的所有公式】向量是数学和物理中非常重要的概念，广泛应用于几何、力学、计算机图形学等领域。为了方便学习和查阅，本文总结了向量的基本概念及相关公式，并以表格形式呈现。
一、向量的基本概念
| 概念 | 定义 | ||||||
| 向量 | 既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示 | ||||||
| 向量的模 | 向量的长度，记作 $ | \vec{a} | $ 或 $ | \vec{a} | $ | ||
| 零向量 | 模为0的向量，方向任意，记作 $ \vec{0} $ | ||||||
| 单位向量 | 模为1的向量，记作 $ \hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | } $（当 $ \vec{a} \neq \vec{0} $） | ||||
| 相等向量 | 方向相同且模相等的向量 | ||||||
| 相反向量 | 方向相反但模相等的向量，记作 $ -\vec{a} $ |
二、向量的运算公式
| 运算类型 | 公式 | 说明 | ||||
| 向量加法 | $ \vec{a} + \vec{b} $ | 按平行四边形法则或三角形法则进行 | ||||
| 向量减法 | $ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) $ | 将减法转化为加法 | ||||
| 数乘向量 | $ k\vec{a} $ | $ k $ 为实数，方向由 $ k $ 的正负决定，模为 $ | k | \vec{a} | $ | |
| 点积（数量积） | $ \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta $ | $ \theta $ 为两向量夹角 | |
| 叉积（向量积） | $ \vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta \cdot \hat{n} $ | 结果为垂直于两向量的向量，方向由右手定则确定 | |
| 点积坐标表示 | $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $ | 当向量在三维空间中时 | ||||
| 叉积坐标表示 | $ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} $ | 结果为一个向量 |
三、向量的性质与应用
| 性质/应用 | 公式或说明 | ||||
| 向量共线 | 若 $ \vec{a} $ 与 $ \vec{b} $ 共线，则存在实数 $ k $，使得 $ \vec{a} = k\vec{b} $ | ||||
| 向量垂直 | 若 $ \vec{a} \perp \vec{b} $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $ | ||||
| 向量投影 | 向量 $ \vec{a} $ 在 $ \vec{b} $ 上的投影为 $ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \vec{b} $ | ||
| 向量夹角 | $ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | } $ | |
| 向量的模 | $ | \vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $ |
四、向量在不同空间中的表示
| 空间 | 向量表示方式 |
| 二维空间 | $ \vec{a} = (a_x, a_y) $ |
| 三维空间 | $ \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) $ |
| n 维空间 | $ \vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_n) $ |
通过以上内容，我们可以系统地掌握向量的基本知识和常用公式。这些公式不仅在数学中具有重要意义，在工程、物理、计算机科学等多个领域也广泛应用。建议在实际应用中结合图形理解，加深对向量的理解与运用能力。
