方差是用来表示一组数据围绕平均数分散程度的数值。求方差时，先算出平均数，再把每个数据与平均数的差平方，然后把这些平方取平均；如果是样本方差，最后除以 n-1。总体方差适合描述整批数据的分散大小，样本方差适合用一组样本数据去反映更大范围里的分散程度。两者都以“方差是什么怎么求 含义与计算”为基本口径，先找平均数，再看差值平方的平均大小。
一、方差用来做什么
- 平均数只能说明一组数据的整体水平，不能说明数据是集中还是分散。
- 方差可以把每个数据与平均数的差先平方，再把所有平方汇总起来。
- 方差越大，说明这组数据相对平均数越分散；方差越小，说明这组数据相对平均数越集中。
- 当两组数据的平均数相近时，方差可以帮助比较它们围绕平均数聚集的程度。
二、怎么求方差
- 先数清楚数据个数，用 n 表示。
- 再求平均数。
- 如果这组数据就是全部对象，平均数记作 μ。
- 如果这组数据是从更大范围里抽取的一部分，平均数记作 x̄。
- 求每个数据与平均数的差。
- 把每个差平方。
- 把所有平方加起来。
- 最后取平均。
- 求总体方差时，除以 n。
- 求样本方差时，除以 n-1。
三、常用公式
| 类型 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 总体方差 | σ² = Σ(x_i - μ)² ÷ n | Σ 表示把后面的项全部加起来，x_i 表示第 i 个数据 |
| 样本方差 | s² = Σ(x_i - x̄)² ÷ (n-1) | 用于样本数据反映更大范围的分散程度 |
四、一个例子
数据：2、4、6、8、10
- 数据个数：n = 5
- 平均数：
2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
30 ÷ 5 = 6
- 每个数据与平均数 6 的差平方：
(2 - 6)² = 16
(4 - 6)² = 4
(6 - 6)² = 0
(8 - 6)² = 4
(10 - 6)² = 16
- 平方和：
16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
- 总体方差：
40 ÷ 5 = 8
- 样本方差：
40 ÷ (5 - 1) = 40 ÷ 4 = 10
所以，这组数据的总体方差是 8，样本方差是 10。
五、总体方差和样本方差对照
| 情况 | 方差类型 | 最后除以什么 | 适用说明 |
|---|---|---|---|
| 数据就是全部对象 | 总体方差 | n | 描述这组完整数据的分散程度 |
| 数据是从更大范围里抽取的一部分 | 样本方差 | n-1 | 用这组样本数据反映更大范围的分散程度 |
六、手算清单
- 列出所有数据。
- 求数据总和。
- 求平均数。
- 算每个数据与平均数的差。
- 把每个差平方。
- 把所有平方加起来。
- 求总体方差时除以 n。
- 求样本方差时除以 n-1。
【常见问题】
问题1：方差是什么怎么求 含义与计算是什么？
回答1：方差是什么怎么求 含义与计算是指先求平均数，再求每个数据与平均数差的平方和，最后按数据个数取平均；如果是样本方差，最后除以 n-1。
问题2：总体方差和样本方差在方差是什么怎么求 含义与计算里分别怎么用？
回答2：在方差是什么怎么求 含义与计算里，总体方差用于整批数据，除以 n；样本方差用于样本数据反映更大范围，除以 n-1。
问题3：做方差是什么怎么求 含义与计算时，为什么要平方？
回答3：在方差是什么怎么求 含义与计算里，平方可以把每个差值都变成同一方向，方便求和，也方便衡量数据围绕平均数的分散程度。
问题4：方差越大说明什么？
回答4：在方差是什么怎么求 含义与计算里，方差越大，说明数据围绕平均数越分散；方差越小，说明数据围绕平均数越集中。
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